Sods la direction de B. DémidovitchQuatrième Édition RevueTraduit du Russe par H. DamadtanCe recueil rassemble des problèmes et des exemples d’ana­ lyse mathématique prévus pour un programme maximum du cours général de mathématiques des écoles supérieures tech­ niques. Il contient plus de 3000 problèmes systématiquement répartis en dix chapitres et embrasse les différentes parties du cours de mathématiques supérieures des écoles supérieures techniques (excepté la géométrie analytique). Une attention particulière y est portée sur les parties les plus importantes du cours qui exigent un entraînement certain au calcul des limites, à la technique de la dérivation, à la construction des graphiques des fonctions, à la technique d’intégration, aux applications des intégrales définies, aux séries, à l’intégra­tion des équations différentielles.Prenant en considération le fait que dans certaines écoles supérieures techniques des chapitres additifs au cours de mathématiques sont enseignés, les auteurs ont inclus adans ce livre des problèmes sur la théorie du champ, la méthode de Fourier et le calcul numérique. Comme Ta prouvé la pratique de l’enseignement, le nombre de problè­mes figurant dans le recueil répond non seulement aux besoins des étudiants quant à l’assimilation pratique du cours de mathématiques, mais donne aussi au professeur la possibilité de varier le choix des problèmes dans chaque partie du cours pour la récapitulation et les épreuves de contrôle.9 Chaque chapitre comporte une introduction théorique donnant les principales définitions et formules se rapportant au chapitre en question ainsi que des modèles de solutions de problèmes types particulièrement importants. A notre sens, cela facilitera, dans une certaine mesure, la tâche de l’étudiant qui fera usage de ce manuel lors de ses travaux individuels. On donne les réponses à tous les problèmes de calcul ; dans les réponses aux problèmes marqués d’un astéris­que (*) ou de deux astérisques (**), on donne soit des indi­ cations sommaires pour les résoudre, soit la solution elle- même. Des graphiques illustrent certains problèmes pour les mettre plus en évidence.Ce recueil est le fruit d’un long travail pédagogique des auteurs qui durant de nombreuses années ont enseigné les mathématiques dans les écoles supérieures techniques de l’Union Soviétique. Outre les problèmes et les exemples originaux qu’il contient, de nombreux problèmes universellement connus y sont aussi insérés. Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original. TABLE DES MATIÈRES Avant-propos 9 Chapitre premier. INTRODUCTION À L’ANALYSE 11§ 1. Notion de fonction 11§ 2. Graphiquesdes fonctions élémentaires 17§ 3. Limites 24§ 4. Infiniment petits et infiniment grands 37§ 5.  Continuitédes fonctions 41Chapitre II. DÉRIVATION DES FONCTIONS 47§ 1. Calcul des dérivées 47 § 2. Tableau des principales formules de dérivation et leurs applications 52 § 3. Dérivées des fonctions qui ne sont pas données ex­plicitement 62 § 4. Applications géométriques et mécaniques de la dérivée 66 § 5. Dérivées d’ordres supérieurs au premier 74§ 6. Différentielles du premier ordre et d’ordres supé­ rieurs 78§ 7. Théorèmes de la moyenne 83 § 8. Formule de Taylor 85§ 9. Règle de Lhopital-Bernoulli pour lever les indéter­minations 87Chapitre III. EXTRÉMUMS DES FONCTIONS ET APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA DÉRIVÉE 92§ 1. Extrémums d’une fonction d’une variable 92 § 2. Concavité. Points d’inflexion 101 § 3. Asymptotes 103 § 4. Construction des graphiques des fonctions d'après leurs points caractéristiques 106 § 5. Différentielle d’un arc de courbe. Courbure 113Chapitre IV. INTÉGRALE INDÉFINIE 119§ 1. Intégration directe 119 § § 2. Méthode de substitution 126 § 3. Intégration par parties 130§ 4. Intégrales simples contenant un trinôme du second degré 132§ 5. Intégration des fonctions rationnelles 135 § 6. Intégration de certaines fonctions irrationnelles 140§ 7. Intégration des fonctions trigonométriques 143§ 8. Intégration des fonctions hyperboliques 149§ 9. Application des substitutions trigonométriques et hyperboliques pour calculer les intégrales du type∫R(x,√(ax^2+ bx+ c)dx, où R est une fonction rationnelle 150 § 10. Intégration de différentes fonctions transcendantes 151 § 11. Application des «formules de récurrence» 152 § 12. Exemples mixtes d’intégration 152Chapitre V. INTÉGRALE DÉFINIE 155§ 1. Intégrale définie en tant que limite de sommes 155§ 2. Calcul des intégrales définies à l'aide des intégrales indéfinies 158§ 3. Intégrales impropres 160§ 4. Changement de variable dans une intégrale définie 165§ 5. Intégration par parties 168§ 6. Théorème de la moyenne 169§ 7. Aires des figures planes 172§ 8. Longueur d'un arc de courbe 178§ 9. Volumes des corps 181§ 10. Aire d'une surface de révolution 186§ 11. Moments. Centre de gravité. Théorèmes de Guldin 189 § 12. Application des intégrales définies à la résolution de problèmes de physique 194 Chapitre VI. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 202 § 1. Notions fondamentales 202 § 2. Continuité 206 § 3. Dérivées partielles 208 § 4. Différentielle totale d’une fonction 211 § 5. Dérivation des fonctions composées 214§ 6. Dérivée dans une direction donnée et gradient d’une fonction 218 § 7. Dérivées et différentielles d’ordres supérieurs 222 § 8. Intégration des différentielles totales 228 § 9. Dérivation des fonctions implicites 231§ 10. Changement des variables 238§ 11. Plan tangent et normale à une surface 244§ 12. Formule do Taylor pour une fonction de plusieurs variables 248§ 13. Extrémums des fonctions de plusieurs variables 250 § 14. Problèmes sur la détermination des plus petites et plus grandes valeurs des fonctions 256 § 15. Points singuliers des courbes planes 259 § 16. Enveloppes 262 § 17. Longueur dun arc de courbe gauche 263 § 18. Fonction vectorielle d’une variable scalaire 264 § 19. Trièdre naturel attaché à une courbe gauche 268§ 20. Courbure et torsion d’une courbe gauche 273Chapitre VII. INTÉGRALES MULTIPLES ET INTÉGRALESCURVILIGNES 277§ 1. Intégrale double en coordonnées rectangulaires. 277§ 2. Changement de variables dans une intégrale double 284§ 3. Calcul des aires 288 § 4. Calcul des volumes 290 § 5. Calcul des aires des surfaces 292 § 6. Applications mécaniques de l’intégrale double 292§ 7. Intégrales triples 295 § 8. Intégrales impropres dépendant d'un paramètre. Intégrales multiples impropres 303 § 9. Intégrales curvilignes 307 § 10. Intégrales de surface 319 § 11. Formule d’Ostrogradski-Gauss 323 §  12. Eléments de la théorie du champ 324Chapitre VIII. SÉRIES 331§ 1. Séries numériques 331 § 2. Séries de fonctions 344 § 3. Série de Taylor 352 § 4. Séries de Fourier 360Chapitre IX. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 366§ 1. Solutions. Equations différentielles de famille de courbes. Conditions initiales 366 § 2. Equations différentielles du premier ordre 369§ 3. Equations différentielles du premier ordre à variables séparables. Trajectoires orthogonales 371§ 4. Equations différentielles homogènes du premier ordre 375§ 5. Equations linéaires du premier ordre. Equations de Bernoulli 377§ 6. Equations aux différentielles totales. Facteur intégrant 380§ 7. Equations différentielles du premier ordre non résolubles par rapport à la dérivée 383 § 8. Equations de Lagrange et de Clairaut 385§ 9. Exercices mixtes sur les équations différentielles du premier ordre 387§ 10. Equations différentielles d’ordres supérieurs 393§ 11. Equations différentielles linéaires 397 § 12. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 399 § 13. Equations différentielles linéaires d’ordres supérieurs au second à coefficients constants 405 § 14. Equations d’Euler 406 § 15. Systèmes d’équations différentielles 408§ 16. Intégration des équations différentielles a l’aide de séries entières 411 § 17. Problèmes sur la méthode de Fourier 413Chapitre X. CALCUL NUMÉRIQUE 417§ 1. Opérations sur des nombres approchés 417 § 2. Interpolations des fonctions 423 § 3. Calcul des racines réelles des équations 427§ 4. Intégration numérique 434 § 5. Intégration numérique des équations différentielles 437 § G. Calcul approché des coefficients deFourier 448RÉPONSES 450Chapitre I premier 450 Chapitre II 456 Chapitre III 465 Chapitre IV 474 Chapitre V 488 Chapitre VI 497 Chapitre VII 509 Chapitre VIII 521 Chapitre IX 531 Chapitre X 543APPENDICES 546I. Alphabet grec 546II. Quel nues constantes remarquables 546III. Grandeurs inverses, puissances, racines, logarithmes 547IV*. Fonctions trigonométriques 549 V. Fonctions exponentielles, hyperboliques et trigonométriques 550 VI. Quelques courbes remarquables 551