Ce livre continue les Variétés différentiables *). 11 s’agit d’unautre manuel (plus complet que le cours de géométrie qu’on lit aujourd'hui)à l'intention des étudiants en mathématiques des Universités.Dans la préface des Variétés différentiables, nous avons suffisammentparlé du but général de la série. Ce but reste toujours lenôtre, mais cet ouvrage diffère un peu des volumes déjà parus. Lefait est que l'enseignement de la géométrie dans les Universitéssoviétiques ne repose sur aucun principe directeur, ou peu s’en faut.Tandis que l’analyse a, par exemple, pour elle la tradition tant en cequi concerne les manuels qu’en matière des conférences, les géomètresnagent complètement : quels matériaux inclure dans le programme? comment les enseigner ? comment les exposer ? Ce n'est qu’aprèsavoir bien «rodé» plusieurs manuels conçus dans des optiquesdifférentes qu'un professeur peut fixer délibérément le contenu etle style même de son cours. Pour l'instant, tout manuel doit servirà de nombreux cours obligatoires différemment orientés, ce qui enaugmente sensiblement le volume. Par contre, il laisse aux enseignantsune grande liberté de manoeuvre, et les esprits éveillés entirent beaucoup plus qu’ils n’apprennent pendant la leçon.concretdu livre. Aussi nous nous bornons à de brefs commentaires.La Première leçon est une sorte d’introduction dont on n’a enfait besoin que lorsqu’on a affaire aux fibrés principaux. Mais lanégliger complètement, c’est se priver d’une vue d’ensemble de laquestion et rétrécir son horizon. Nous conseillons de la passer enpremière lecture pour y revenir chaque fois que la nécessité s’en faitsentir.Les leçons 2 à 5 sont consacrées aux revêtements et au groupefondamental. L’exposé y est concentrique, si bien qu’on peut omettrela leçon 5, voire se borner aux leçons 2 et 3, car dans chaque cas, onreçoit une information plus ou moins exhaustive. (C’est égalementvrai pour certaines leçons suivantes.)Dans la leçon 6, on introduit les fibrés vectoriels, thème numéroun du livre. On peut commencer par cette leçon, mais on ne sauraits’en passer.La leçon 7 illustre la réduction du groupe structural d’un fibrévectoriel par l’exemple des fibrés métrisables. Dans la leçon 8, onexamine les variétés différentiables qui admettent une structurepresque complexe et on établit en particulier les valeurs de n pourlesquelles une sphère de dimension n est presque complexe ou parallélisable.La réduction du groupe structural dans le cas général est étudiéedans la leçon 9 et on introduit à ce propos la notion do géométriede Klein.On aborde la géométrie différentielle proprement dite dans la leçon10 (on l’a déjà dit d’ailleurs), où l’on définit géométriquementla connexion sur un fibré vectoriel en tant qu’une espèce do champde sous-espaces horizontaux. On peut la lire immédiatement aprèsla leçon 6.PRÉFACE 13La leçon 11 présente les dérivées covariantes dont on établit lacorrespondance biunivoque avec les connexions.Dans la leçon 12, on décrit le transport de la connexion ^ d é riv a tioncovariante) d'un fibré vectoriel donné sur ses puissances tensoriellesquelconques. L’auteur a voulu que ce transport précède la constructionde la multiplication tensorielle (et en constitue la motivation).On considère certes, en plus de la multiplication tensorielle, lesfoncteurs continus arbitraires.La notion de produit tensoriel de fibrés aidant, on introduit ladifférentielle covariante (début de la leçon 13). La partie restante dela leçon et deux leçons suivantes sont consacrées à la théorie desgroupes de Lie. (Dans la pratique, on adjoint la fin de la leçon 14à la leçon 15.)Les leçons 16 et 17 familiarisent le lecteur avec les connexionssur les fibrés principaux qu’on compare ensuite avec celles sur lesfibrés vectoriels. On les réduit aisément à une leçon et demie (voireà une seule) aux dépens des exemples et des explications détaillées.Dans la première partie de la leçon 18, on introduit le grouped’holonomie et on démontre (moyennant les théorèmes généraux de laleçon 15) qu’il s’agit d’un groupe de Lie, puis qu’un fibré est réductibleà son groupe d’holonomie. Lorsqu’il lit son cours, le professeurn'a pas à se soucier outre mesure de la rigueur ni des notations, sibien que les deux démonstrations sont rapides et faciles. La secondepartie de la leçon (qui n’est pas liée directement à la première)établit que chaque fibré vectoriel sur une variété séparée paracompacteadmet au moins une connexion et qu’il est donc trivialisableau-dessus de tout voisinage sphérique.Dans la leçon 19, on calcule le transport parallèle le long d’unlacet et on asseoit dessus la notion de tenseur de courbure. On discuted’autres définitions du tenseur. En omettant deux dernières parties,on peut lire cette leçon immédiatement après la leçon 11.La leçon 20 est centrée sur le problème d’exprimer les élémentsdu groupe d'holonomie à l’aide du tenseur de courbure. Une discussionheuristique est suivie du théorème d'Ambrose-Singer qui fournitla réponse voulue. A cet effet, on détermine le transport parallèle,la forme de courbure et le groupe d'holonomie pour les fibrés principauxquelconques.Dans la leçon 21, un théorème d’existence des relèvements horizontaux(nécessaire au cas général d’Ambrose-Singer) est démontrépour les fibrés principaux quelconques. On discute une deuxièmedéfinition de la forme de courbure des connexions sur un fibréprincipal, l’identité de Bianchi et l ’équation de structure d’ElieCartan. On expose enfin la construction quaternionique des instantons.Sur ce, on en finit au fond avec la géométrie différentielle, et onrevient (après une brève incursion dans la théorie des champsde jauge de Yang-Mills) à la topologie (leçon 22). On présentela théorie des classes caractéristiques de Weyl (qu’on retrouvedans la leçon 23) qui s’inspire des principes de la géométrie différentielle,et les idées clefs de la théorie des /^-groupes. Dans la leçon24, on prouve (avec des lacunes) le théorème d’Adams sur la paritéde l’invariant de Hopf pour n ^ 2 , 4, 8 et on examine en détailses divers homologues algébriques.La leçon 25 étudie les fibres au-dessus des sphères. On introduità ce propos les groupes d’homotopie.Dans la leçon 26, on calcule les groupes JTnSm» et ondémontre un théorème de Hopf {application des variétés dans lessphères de meme dimension).La leçon finale expose (avec force lacunes) un procédé de calculdes groupes des sphères et leur application au problème de l’invariantde Hopf.L’Annexe in fine a été ajouté sur épreuves.Ce sont les leçons 6, 10, 11 et 19 qui constituent le coeur du livre.Le cours de géométrie (réduit à l’extrême) lu à la Faculté mécanicomathématique(voir préface des Variétés différentiables) se borueà ces leçons (et à une partie des leçons 5 et 12), après quoi on passeà la géométrie de Riemann.Nous répétons une fois de plus que la géométrie de Riemann et lesquestions afférentes feront l’objet du volume suivant.Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.