La théorie des groupes de Lie est basée sur le théorème de Cariaitd’équivalence des catégories de groupes de Lie simplement connexeset des catégories d’algèbres de Lie. Cet ouvrage vise à la démonstrationde ce théorème et des principaux faits qui y sont rattachés.Nous glisserons donc sur des résultats plus profonds découlant de cethéorème. De même la théorie des algèbres de Lie n’est exposée quedans la mesure nécessaire à la démonstration du théorème de Cartan.Ce cours spécial semestriel de 21 leçons prolonge une série *)qui est la transcription presque intégrale des leçons faites par l’auteuraux élèves du second (et du troisième) cycle de la faculté de mécaniqueet de mathématiques de l’Université de Moscou. Mais il diffèredes livres I et II qui, eux, reproduisaient un cours obligatoire.La destination de ce cours aux élèves de quatrième et de cinquièmeannée et aux boursiers de thèse a permis en deux heuresacadémiques (90 min) d’aborder plus de sujets que dans les leçonsqui visaient les élèves de première année. En supprimant la récréationet en « mordant » sur les horaires du cours suivant. Tauleur aréussi à faire de deux heures académiques deux heures « astronomiques» (120 min) et ainsi à doubler pratiquement le volume dechaque leçon. Certes, avec un programme moins chargé — disons uncours étalé sur une année et non sur un semestre — chacune de nosleçons aurait recouvert pratiquement une leçon et demie ou deuxordinaires. Aussi serait-il plus logique de voir ici un cours spéciald’une année (mais qui a tout de même été fait en un semestre dans lesconditions signalées ci-dessus).La pénurie de temps nous a contraint à nous limiter souvent auxseules idées des démonstrations en abandonnant les détails aulecteur. Les assertions auxiliaires des autres disciplines mathématiquesont été simplement formulées avec les références nécessaires,et les exemples illustrant la théorie générale, simplement décrits,leur étude détaillée ayant été laissée au soin du lecteur.*) Voir M. P o s t n i k o v , Leçons de géométrie. Iersemestre. Géométrieanalytique.Traduction française Editions Mir, 1981, et Leçons de géométrie. IIesemestre. Algèbre linéaire et géométrie différentielle. Traduction françaiseEditions Mir, 1981 (sont désignés dans les références par I et II suivis du numéro de la leçon). Les semestres III et IV sont in statu nascendi.En couchant ces leçons par écrit point n’est besoin de respecterces particularités, bien plus, toutes les démonstrations doivent êtreconduites soigneusement, les exemples étudiés complètement et leslemraes « auxiliaires » prouvés. Ceci aura pour effet de doubler ou detripler le volume des leçons.Tout professeur, même s’il suppose à ses élèves un certain niveaude connaissance, est contraint de rappeler, ne fût-ce que brièvement,les notions préliminaires fondamentales. Par écrit, ces rappels occupentune place assez importante. Ceci explique l’ampleur de certainesleçons. En fait, chaque leçon de cet ouvrage? est la transcriptiond'une leçon orale (aux artifices près de l’auteur!).Les leçons ont été partagées en cinq cycles. Dans le premier (leçons1, 2 et 3) sont introduites et illustrées par des exemples les notionsfondamentales de groupe de Lie, d'algèbre de Lie d’un groupe de Lie.Le deuxième cycle (leçons 4, 5, 6 et 7) est consacré à la « théorielocale » des groupes de Lie. Les leçons 4 et 6 établissent l’équivalence<les catégories d’algèbres de Lie et de groupuscules analytiques(= groupes locaux) de Lie. L’outil mathématique nécessaire estdéveloppé à la leçon 5. Dans la leçon 7 on montre que la conditiond’analyticité ne restreint pas la généralité. On y étudie aussi lessous-groupuscules et les groupuscules quotients.Les leçons 8, 9 et 10 sont consacrées à la globalisation de lathéorie. La leçon 8 traite de la théorie des revêtements (au sens deChevalley, c'est-à-dire « sans chemins »). Dans la leçon 9, on construitun groupe de revêtement universel; dans la leçon 10, on formule•et on discute le théorème de Cartan. Ce théorème n’est pas prouvémais ramené simplement au théorème d’Ado d’existence de lareprésentation linéaire exacte de toute algèbre de Lie.Ces trois cycles peuvent constituer la matière d’un petit coursd’initiation à la théorie des groupes de Lie.Dans les leçons 11 et 12 sont étudiés les sous-groupes et les groupes•quotients des groupes de Lie. La leçon 13 est consacrée aux algèbresde Clifford et aux groupes de spineurs. Dans les leçons 14, 15 et 16on se penche en détail sur les groupes de Lie G2 et Fk et sur l’appareilmathématique ad hoc.Les dernières leçons 17 à 21 sont purement algébriques et sontpratiquement indépendantes des autres (hormis la leçon 20 qui-« fait bande à part»). Formellement elles sont consacrées à la démonstrationdu théorème d’Ado, mais en réalité elles contiennent unepartie assez importante de la théorie des algèbres de Lie (critère de•Cartan de résolubilité et de semi-simplicité, lemmes de Whitehead,théorèmes de Weyl et de Lévi) qui présente un intérêt en soi.En conclusion je voudrais exprimer ma gratitude à V. Popovdont la contribution au perfectionnement du manuscrit dépasse deloin les obligations habituelles du rédacteur.Traduit du russe par Djilali EmbarekUn grand merci à Henri Leveque pour le scan original.