Dans l'avant-propos à la deuxième édition du tome V (1959)Vladimir Smirnov écrivait qu'il <<envisageait la publication d'ulh sixième tome consacré à quelques problèmes de la théorie modernedes opérateurs différentiels à une et plusieurs variables indépendantes>>. Il me proposa d'être co-auteur de ce nouveau tome. Mais diverses circonstances compromirent cette entreprise et la décision, fut prise d'élargir simplement le tome IV. La théorie de l'intégralede Lebesgue et de l'espace L2 fut incluse dans le tome Il, quant autome IV, il fut divisé en deux parties (livres). La première traite· de la théorie des équations intégrales dans l'espace des fonctions.continues et dans l'espace L2, du calcul des variations, de la théorie des dérivées distributionnelles, des propriétés fondamentales des- espaces w~ et w: et du minimum d'une fonctionnelle quadratique· en termes de distributions. Cette partie a été publiée en 1974 *).La deuxième partie fut revue et complétée au moment où Vladimir Smirnov était miné par une grave maladie. Néanmoins il trouva le courage de relire attentivement et de rédiger les ajouts et changements que j'avais écrits et avança quelques suggestions quant à laforme définitive de cet ouvrage. Smirnov avait l'intention de supprimer une partie de la précédente édition, qui lui semblait dépassée. Mais nous décidmes d'un commun accord de la conserver et d'yapporter seulement quelques correctifs pour faire la jonction entre· l'ancien et le nouveau texte.Les références sont données entre crochets. Celles qui ne com- portent pas le numéro du tome concernent le tome IV2•